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    已知抛物线x2=2py （p＞0），过点M （0，-数学公式 ）向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的长度是


    1. A.
      2p
    2. B.
      p
    3. C.
      数学公式
    4. D.
      数学公式
    A
    分析：设过M（0，-）与抛物线x2=2py （p＞0）相切的直线l的斜率为k，可求得l的方程为：y=kx-，与抛物线x2=2py （p＞0）联立，整理成关于x的一元二次方程，由△=0可求得k，从而可求得切点A、B的坐标，由两点间的距离公式可求得线段AB的长度．
    解答：由题意可知，过点M（0，-）与抛物线x2=2py （p＞0）相切的直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y=kx-，与抛物线方程x2=2py （p＞0）联立，
    消掉y得：x2-2pkx+p2=0，
    ∵直线l与抛物线x2=2py （p＞0）相切，
    ∴△=4p2k2-4p2=0，解得k=±1；
    当k=1时，解得x=p，y=，
    ∴切点A的坐标为（p，）；
    同理可求，当k=-1时，切点B的坐标为（-p，）；
    ∴|AB|=|p-（-p）|=2p．
    故选A．
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，将直线与圆锥曲线相切问题转化为二曲线构成的方程组有唯一解的问题，着重考查方程思想与转化思想，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•合肥三模）已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），过抛物线上点M（-2
    		p
    ，p）作△MAB，A、B两均在抛物线上．过M作x轴的平行线，交抛物线于点N．
    （I）若MN平分∠AMB，求证：直线AB的斜率为定值；
    （II）若直线AB的斜率为
    		p
    ，且点N到直线MA，MB的距离的和为4p，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•广州模拟）已知抛物线x2=2py（p＞0），过动点M（0，a），且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，
    （1）求a的取值范围；
    （2）若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积．

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    科目：高中数学 来源：黑龙江省大庆实验中学2010-2011学年高二上学期期末考试数学理科试题 题型：013

    已知抛物线x2＝2py(p＞0)，过点向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的长度是

    [　　]
    A．

    2p

    B．

    p

    C．

    D．

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    科目：高中数学 来源：广东省广州市2007年高三年级六校联考数学理科试卷 题型：044

    已知抛物线x2＝2py(p＞0)，过动点M(0，a)，且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，

    (1)求a的取值范围；

    (2)若p＝2，a＝3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；

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    科目：高中数学 来源：2010年江西省名校高考信息卷一（理） 题型：选择题

     已知抛物线x2 = 2py (p > 0)，过点M (0 , - )向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段

    AB的长度是

    A.2p

    B.p

    C.

    D.

     

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