Question

如图，两座建筑物AB，CD的底部在同一个水平面上，且均与水平面垂直，他们的高度分别是12m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=45°．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）在线段AB上取一点P，从点P看建筑物CD的视角为∠CPD，问点P在何处时，∠CPD最大？

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）如图，先求得tan∠DAE=

ED

AE

=

8

AE

，tan∠CAE=

CE

AE

=

12

AE

，再根据tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）利用两角和的正切公式，化简求得AE=24，可得故BC=AE的值．
（Ⅱ）由题意可得，∠CPD为锐角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．如图，设CF=x，0≤x≤12，则DF=20-x，tan∠CPF=

x

24

，tan∠DPF=

20-x

24

，计算tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=

480

x2-20x+576

，可得当x=10时，tan∠CPD最大值，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）如图，作AE⊥CD，E为垂足．
∵AB∥CD，AB=12，CD=20，∴ED=8，CE=12．
在Rt△DAE中，tan∠DAE=

ED

AE

=

8

AE

，
在Rt△CAE中，tan∠CAE=

CE

AE

=

12

AE

．
再根据∠CAD=45°，可得tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）
=

tan∠DAE+tan∠CAE

1-tan∠DAE•tan∠CAE

=

8 AE + 12 AE

1- 8 AE • 12 AE

，
求得AE=24，或AE=-24（舍去）．
故BE=AC=24．
（Ⅱ）由题意可得，∠CPD为锐角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．
如图，作 PF⊥CD，F为垂足，则 PF=AE=24，
设CF=x，0≤x≤12，则DF=20-x，tan∠CPF=

x

PF

=

x

24

，
tan∠DPF=

x

PF

=

20-x

24

，
tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=

tan∠CPF+tan∠DPF

1-tan∠CPF•tan∠DPF

=

x 24 + 20-x 24

1- x 24 • 20-x 24

=

480

x2-20x+576

，
故当x=10时，tan∠CPD取得最大值为

120

119

，即当BP=10时，∠CPD取得最大值．

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．