Question

设圆C₁：x²+y²=5与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）若P在抛物线C₂在两点O，R之间的部分运动，其中O为坐标原点，直线l过点P且与抛物线C₂只有一个公共点，l与圆C₁相交于两点A，B，求△OAB的面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用圆C₁：x²+y²=5与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，可得点O到直线l的距离d，确定d的范围，进而表示出面积，即可求出△OAB的面积的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆C₁：x²+y²=5与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），
∴4+m²=5，
∵m＞0，
∴m=1，
（2，1）代入x²=2py，可得p=2，
∴抛物线C₂的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设P（x₀，

1

4

x02）（0＜x₀＜2），则
由y=

1

4

x²，可得y′=

1

2

x，
∴直线l的斜率k=

1

2

x0，
∴直线l的方程为y-

1

4

x02=

1

2

x0（x-x₀），即2x₀x-4y-x02=0，
∵点O到直线l的距离为d=

1

2

1 1 x02 + 4 x04

，
∵f（x）=

1

2

1 1 x02 + 4 x04

在（0，2）上递增，
∴0＜d＜

2

2

∵S_△OAB=

1

2

|AB|d=

5-d2

•d=

-(d2- 5 2 )2+ 25 4

∴0＜S_△OAB＜

3

2

．

点评：本题考查抛物线方程，考查抛物线的切线方程，考查三角形面积的计算，属于中档题．