Question

已知0≤x≤

π

2

，求函数y=cos²x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）．

Answer 1

分析：令t=cosx（0≤x≤

π

2

）?t∈[0，1]，依题意，y=cos²x-2acosx=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．令f（t）=（t-a）²-a²（0≤t≤1）．通过对二次函数对称轴t=a中a的范围的讨论，利用二次函数的单调性与最值即可求得函数y=cos²x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）．

解答：解：∵0≤x≤

π

2

，
∴0≤cosx≤1，
令t=cosx，t∈[0，1]，
∵y=cos²x-2acosx=（cosx-a）²-a²=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．
令f（t）=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．
则（1）当a＜0时，f（t）在[0，1]上单调递增，
∴m（a）=f（0）=0，M（a）=f（1）=1-2a；
（2）当0≤a＜

1

2

时，同理可得m（a）=f（a）=-a²，M（a）=f（1）=1-2a；
（3）当

1

2

≤a＜1时，m（a）=f（a）=-a²，M（a）=f（0）=0；
（4）当a≥1时，f（t）在[0，1]上单调递减，m（a）=f（1）=1-2a，M（a）=f（0）=0．

点评：本题考查二次函数的单调性与最值，着重考查转化思想与分类讨论思想，考查分析、运算能力，属于难题．