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    (本题满分12分)

    已知二次函数和“伪二次函数” （、、），

    （I）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；

    （II）在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，

    （i）求证：；

    （ii）对于“伪二次函数”，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.

    请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

    解：（I）如果为增函数,

    则(1)恒成立, 

     当时恒成立, (2) 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.

    则函数不可能总为增函数.   --------3分

    （II）（i） =.     

           由,  则--------5分

    （ii）不妨设,对于“伪二次函数”:

     =,       (3)            --------7分

    由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则 , (4)

     比较(3)( 4)两式得，

    即：，(4)                  --------10分

    不妨令，    (5)

    设，则，

    ∴在上递增，  ∴.

      ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.          

      ∴“伪二次函数”不具有(ⅰ)的性质. -------12分

    练习册系列答案
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    （1）求的解析式；

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    如图所示，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且⊥平面

    （Ⅰ）求证：⊥平面

    （Ⅱ）求二面角的大小；

    （Ⅲ）求点到平面的距离.

     

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