Question

【题目】已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）

（1）若，求在上的极大值点；

（2）（）证明在上单调递增；

（）求关于的方程在上的实数解的个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）证明见解析，（）当时，方程在上的实数解的个数为，当时，方程在上的实数解的个数为.

【解析】

（1）首先求出函数的导数，利用导数得到函数的单调区间，再根据单调区间即可得到函数的极大值点.

（2）（）首先根据的单调性只需证明，将问题转化为证明，构造函数，再结合的单调性即可证明.（ii）首先证明，再证明函数的最大值，设，分别求出和的零点个数，从而得到方程解得个数.

（1）.

当时，.

	增函数	极大值	减函数

所以函数的极大值点为.

（2）（）因为，所以在上必存在唯一的实数，使得.

所以，，为增函数，

，，为减函数.

要证明在上单调递增，只需证明即可.

又因为，所以，

即证即可.

设，，所以在为减函数.

当时，，，即，

即证，

所以在上单调递增.

（）先证明时，.

设，，，

因为，所以，在为增函数.

所以，即.

再证明函数的最大值.

因为，所以，.

因为，所以.

所以.

下面证，令，则，

即证，，，.

设，，

所以函数为增函数.

当时，，即.

即证：.

设，，

当时，，，

且在为减函数，所以在上有唯一零点.

当时，，，且在为增函数.

①当时，，即，所以在上没有零点.

②当时，，即，所以在上有唯一零点.

综上所述：当时，方程在上的实数解的个数为，

当时，方程在上的实数解的个数为.