Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1与x=2处有极值．
（1）求函数f（x）的解析式；    
（2）求f（x）在[-2，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函数f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1与x=2处有极值，可知-1，2是f′（x）=0的两个实数根，代入即可解出；
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．利用f′（x）=0，解得x=-1，2．列出表格：即可得出极值与区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1与x=2处有极值，
∴-1，2是f′（x）=0的两个实数根，
∴

3-2a+b=0 12+4a+b=0

，解得

a=- 3 2 b=-6

．
∴f（x）=x3-

3

2

x2-6x+1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．
利用f′（x）=0，解得x=-1，2．
列出表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=

9

2

；当x=2时，函数f（x）取得极小值，f（2）=-9．又f（-2）=-1，f（3）=-

7

2

．
可得：当x=-1时，函数f（x）取得最大值

9

2

；当x=2时，函数f（x）取得最小值-9．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上的连续函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．