Question

已知函数f（x）=ax²+bx+4lnx的极值点为1和2．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由导数的运算法则可得：f′（x）=2ax+b+

4

x

=

2ax2+bx+4

x

，x∈（0，+∞），
（1）由y=f（x）的极值点为1和2，可知2ax²+bx+4=0的两根为1和2，利用根与系数的关系即可得出；
（2）由（1）得f（x）=x²-6x+4ln x，可得f′（x）=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，x∈（0，3]．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况列出表格即可得出．

解答： 解：f′（x）=2ax+b+

4

x

=

2ax2+bx+4

x

，x∈（0，+∞），
（1）∵y=f（x）的极值点为1和2，
∴2ax²+bx+4=0的两根为1和2，
∴

1+2=- b 2a 1×2= 4 2a

，解得a=1，b=-6．
（2）由（1）得f（x）=x²-6x+4ln x，
∴f′（x）=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，x∈（0，3]．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	-5	单调递减	4ln 2-8	单调递增	4ln 3-9

∵f（3）=4ln 3-9＞f（1）=-5＞f（2）=4ln2-8，
∴f（x）max=f（3）=4ln3-9．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．