Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+（a-1）x，
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）当a为何值时，函数y=f（x）有极值？并求出极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，k=f′（0）=0，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程y=0；
（2）显然，当a-1≠1时，即 a≠2时函数有极值，通过讨论①当a＜2时，即a-1＜1时②当a＞2时，即a-1＞1时的函数的单调性，从而找到函数的极大值．

解答： 解：f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]
（1）当a=1时，k=f′（0）=0，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程y=0；
（2）显然，当a-1≠1时，即 a≠2时函数有极值．
①当a＜2时，即a-1＜1时，有

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

此时，函数函数y=f（x）极大值为f（a-1）=

4-a

6

（a-1）²．
②当a＞2时，即a-1＞1时，有

x	（-∞，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

此时，函数y=f（x）极大值为f（1）=

a

2

-

2

3

．
综上，函数y=f（x）极大值为f（x）_极大值=

4-a 6 (a-1)2，  (a＜2) a 2 - 2 3 ，           (a＞2)

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．