Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c
（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点P，设曲线f（x），g（x）在P处的切线分别为l₁，l₂，若切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形，求P点坐标和c的值；
（3）当b=-2e²时，讨论关于x的方程

f(x)

x

=g（x²）的根的个数．

Answer 1

分析：（1）先确定出函数的自变量取值范围，利用函数是单调递增函数知道其导函数一定大于等于零．
法一：利用a+b≥2

ab

求最值的方法确定出b的取值范围即可；
法二：利用二次函数图象法求出b的取值范围即可．
（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，据题意设出公共点，由切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形可知，一个倾斜角是另外一个的2倍列出方程求出公共点坐标即可，分情况讨论求出P，把P坐标代入到g（x）中即可求出c．
（3）设函数φ（x）=

f(x)

x

-g（x²），这个函数有几个零点就说明有几个根．把b=-2e²代入到这个函数中确定出函数解析式，然后利用导数研究函数单调性的能力并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数领点的个数即可求出根．

解答：解：（1）h(x)=lnx+x2+bx+c(x＞0)，h/(x)=

1

x

+2x+b，
依题，h/(x)=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立，
法1：b≥[-(

1

x

+2x)]max，又-(

1

x

+2x)≤-2

1 x •2x

=-2

2

（当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

2

时取等）
∴b≥-2

2

．
法2：h/(x)=

2x2+bx+1

x

，令t（x）=2x²+bx+1，则t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由二次函数t（x）图象得，
1°

- b 4 ≥0 △≤0

?-2

2

≤b≤0；
2°

- b 4 ＜0 t(0)=1＞0

?b＞0，
综合1°、2°得b≥-2

2

．
（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，
设P（x₀，y₀），l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，
则tanα=

1

x0

，tanβ=2x0，由于x₀＞0，则α，β均为锐角，
因为切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形依题，有以下两种情况：
1°α=2β时，tanα=tan2β=

2tanβ

1-tan2β

?

1

x0

=

4x0

1-4x02

?x02=

1

8

?x0=

2

4

，
此时，P(

2

4

，ln

2

4

)，c=ln

2

4

-

1

8

；
2°β=2α时，tanβ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

?2x0=

2 x0

1- 1 x02

=

2x0

x02-1

?x02=2?x0=

2

，
此时，P(

2

，ln

2

)，c=ln

2

-2．
3°PA=PB，（A、B为l1、l2与x轴交点），此时P（1，0），c=-1；
（3）b=-2e²时，
令?(x)=

f(x)

x

-g(x2)=

lnx

x

-x4+2e2x2-c(x＞0)?/(x)=

1-lnx

x2

-4x(x2-e2)，
0＜x＜e时，∅′（x）＞0；x＞e时，∅′（x）＜0
∴∅（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴?max(x)=?(e)=e4+

1

e

-c，
又x→0时，∅（x）→-∞；x→+∞时，∅（x）→-∞
1°∅（e）＞0即c＜e4+

1

e

时，函数∅（x）有两个零点即方程

f(x)

x

=g(x2)有两个根；
2°∅（e）=0即c=e4+

1

e

时，函数∅（x）有一个零点即方程

f(x)

x

=g(x2)有一个根；
3°∅（e）＜0即c＞e4+

1

e

时，函数∅（x）没有零点即方程

f(x)

x

=g(x2)没有根．

点评：此题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，培养学生分类讨论的数学思想．