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如图所示,已知圆为圆上一动点,点是线段的垂直平分线与直线的交点.

(1)求点的轨迹曲线的方程;

(2)设点是曲线上任意一点,写出曲线在点处的切线的方程;(不要求证明)

(3)直线过切点与直线垂直,点关于直线的对称点为,证明:直线恒过一定点,并求定点的坐标.

 

【答案】

(1);(2);(3)证明见解析,定点为

【解析】

试题分析:(1)本题动点依赖于圆上中,本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方程,但本题用动点转移法会很繁,考虑到圆的半径不变,垂直平分线的对称性,我们可以看出

,是定值,而且,因此点轨迹是椭圆,这样我们可以利用椭圆标准方程写出所求轨迹方程;(2)圆锥曲线的过其上点的切线方程,椭圆,切线为

双曲线,切线为,抛物线,切线为;(3)这题考查同学们的计算能力,现圆锥曲线切线有关的问题,由(2)我们知道切线斜率为,则直线的斜率为,又过点,可以写出直线方程,然后求出点关于直线的对称点的坐标,从而求出直线的方程,接着可从的方程观察出是不是过定点,过哪个定点?这里一定要小心计算.

试题解析:(1)是线段的垂直平分线,∴ 

∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.

椭圆长轴长为焦距2c=2.  

∴曲线E的方程为     5′

(2)曲线在点处的切线的方程是.   8′

(3)直线的方程为,即 .

设点关于直线的对称点的坐标为,

,解得

直线PD的斜率为

从而直线PD的方程为:

, 从而直线PD恒过定点.   16′

考点:(1)椭圆的定义;(2)椭圆的切线方程;(3)垂直,对称,直线过定点问题.

 

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3
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