Question

【题目】如图，在平行四边形中， °，四边形是矩形， ，平面平面.

（1）若，求证： ；

（2）若二面角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）或.

【解析】分析：连接，在中，利用余弦定理和勾股定理，得到，再由四边形为矩形，得到，进而得到， ，利用线面垂直的判定定理证得面，即可证得；

（2）以为原点， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值，即可求解的值.

详解：(1)连接，在中，由，由余弦定理易得，又，则；同理由余弦定理易得： ，由四边形是矩形，则，又平面平面，所以平面，所以，同理，由勾股定理易求得， ,显然,故；

由，所以面，所以，所以面，所以；

(2)以点为原点， 所在的直线分别为轴， 轴，过点与平面垂直的直线轴建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为，则,即,

取，则，即,

同理可求得平面的法向量为

设二面角的平面角为，则

则，即，解之得或，又,

所以或