Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为bn=

an

an+t

，问：是否存在正整数t，使得b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a₅+a₁₃=34，S₃=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；
（2）把（1）求得的通项公式a_n代入bn=

an

an+t

得到数列{b_n}的通项公式，因为b₁，b₂，b_m成等差数列，所以2b₂=b₁+b_m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d．由已知得

a5+a13=34 3a2=9

即

a1+8d=17 a1+d=3

解得

a1=1 d=2

．
故a_n=2n-1，S_n=n²
（2）由（1）知bn=

2n-1

2n-1+t

．要使b₁，b₂，b_m成等差数列，必须2b₂=b₁+b_m，
即2×

3

3+t

=

1

1+t

+

2m-1

2m-1+t

，（8分）．
移项得：

2m-1

2m-1+t

=

6

3+t

-

1

1+t

=

6+6t-3-t

(3+t)(1+t)

，
整理得m=3+

4

t-1

，
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．
当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．
故存在正整数t，使得b₁，b₂，b_m成等差数列．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．