Question

已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2，al＝1． (1) 设bn=an+1－2an，求证：｛bn}是等比数列 (2) 设cn＝，求证：数列｛cn｝是等差数列 (3) 求数列｛an｝的通项公式及前n项的和

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由“a1＋a2＝4a1＋2，得a2－3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3． 　　又Sn+1＝4an＋2，Sn＝4an+1＋2．两式相减得an+1＝4an－4an+1，∴an+1－2an＝2(an－2a+1)， 　　∴bn＝2bn+1，∴b1＝3，q＝2． 　　∴bn＝3·2n+1，∴｛bn｝是等比数列．
(2)	由an+l－2an＝3·2n+1，得cn+1－cn＝an+l－an＝(an+1－2an)＝·3·2n+1＝， 　　∴｛cn｝是等差数列，且c1＝a1＝，d＝． 　　∴cn＝c1＋(n－1)d，∴cn＝n－．
(3)	由cn＝，∴an＝2n·cn 　　∴aπ＝n·2n－·2n而Sn＝4an+1＋2(已知)，∴Sn＝2n+1(3n－4)＋2． 　　点评：本题绐出了由已知数列构造成新的等差、等比数列的方法．在这方面进行解题训练是十分必要的．