Question

10．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AP=AD，取线段PD，AD的中点E，F，连结AE，PF交于一点G．连结BF交AC于点H．
（1）证明：PB∥GH；
（2）求平面PBF与平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据三角形相似，证明对应边成比例，即可证明：PB∥GH；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：∵线段PD，AD的中点是E，F，
∴EF∥PA，且EF=$\frac{1}{2}$PA，
则△EGF∽△AGP，∴$\frac{PG}{GF}$=$\frac{PA}{EF}$=2，
∵AF∥BC，
∴△AHF∽△CHB，∴$\frac{BH}{HF}$=$\frac{BC}{AF}$=2，
则$\frac{PG}{GF}$=$\frac{BH}{HF}$=2，
∴在△BFP中，GH∥PB；
（2）∵PA⊥底面ABCD，AP=AD，
∴建立以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图
设AP=AD=1，
则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），F（0，$\frac{1}{2}$，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
设平面PBF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{BF}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{-x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则z=-1，y=2，即$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，1），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=1，x=0，即$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∵平面PBF与平面PCD所成二面角是锐二面角，
∴平面PBF与平面PCD所成二面角的大小是arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查直线平行的判断以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．