Question

2．已知函数f （x）=ln x+$\frac{1}{x}$-1，g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$
（Ⅰ）求函数 f （x）的最小值；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线 y=x不是曲线 y=g（x）的切线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间，可得极小值，且为最小值；
（Ⅱ）求出g（x）的定义域，求出导数，结合函数f（x）的单调区间，即可得到g（x）的单调区间；
（Ⅲ）运用反证法证明，假设直线y=x是曲线g（x）的切线．设切点为（x₀，y₀），运用导数的几何意义，以及点满足曲线的方程，推理得到矛盾，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

函数f（x）在（0，+∞）上的极小值为f（1）=ln1+1-1=0，
所以f（x）的最小值为0；
（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
$g'（x）=\frac{{lnx-（x-1）\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=\frac{{lnx+\frac{1}{x}-1}}{{{{ln}^2}x}}=\frac{f（x）}{{{{ln}^2}x}}$，
由（Ⅰ）得，f（x）≥0，所以g'（x）≥0，
所以g（x）的单调增区间是（0，1），（1，+∞），无单调减区间；
（Ⅲ）证明：假设直线y=x是曲线g（x）的切线．
设切点为（x₀，y₀），则g'（x₀）=1，即$\frac{{ln{x_0}+\frac{1}{x_0}-1}}{{{{ln}^2}{x_0}}}=1$，
又${y_0}=\frac{{{x_0}-1}}{{ln{x_0}}}，{y_0}={x_0}$，则$\frac{{{x_0}-1}}{{ln{x_0}}}={x_0}$．
所以$ln{x_0}=\frac{{{x_0}-1}}{x_0}=1-\frac{1}{x_0}$，得g'（x₀）=0，与 g'（x₀）=1矛盾，
所以假设不成立，直线y=x不是曲线g（x）的切线

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查反证法的运用，注意推理得出矛盾，考查化简整理的运算能力，属于中档题．