Question

14．已知正三棱锥S-ABC，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，若过直线AB的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{10}$
• B． $\frac{4\sqrt{15}}{15}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{15}$
• D． $\frac{2\sqrt{15}}{15}$

Answer 1

分析 根据三棱锥的体积关系确定E是SC的中点，结合二面角平面角的定义进行求解即可．

解答 解：设截面为ABE，
过S作SO⊥平面ABC，过E作ED⊥平面ABC，
∵过直线AB的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，
∴V_E-ABC=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，
即ED=$\frac{1}{2}$SO，
则E是SC的中点，
取AB的中点F，连接EF，CF，则∠EFC是截面与底面所成二面角的平面角，
∵底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CO=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=CD=$\frac{1}{2}CO=\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
则SO=$\sqrt{S{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，DE=$\frac{1}{2}$SO=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
则EF=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{33}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则cos∠EFC=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，
故选：D．

点评 本题主要考查二面角的计算和求解，根据三棱锥的体积关系确定E是中点．根据二面角的定义作出平面角是解决本题的关键．