Question

在数列{a_n} 中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3…．
（I）求数列{a_n}  的通项公式；
（II）求

an

an+1

的最大值．

Answer 1

分析：（I）因为从数列{a_n}的递推公式 中，不容易找到规律，可考虑用构造法构造新函数，观察可得，a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），所以）数列{a_n-

3n

4

}为等比数列，先求出它的通项公式，继而求数列{a_n}  的通项公式．
（II）由（I）得到的数列{a_n}  的通项公式，可以代入

an

an+1

，化简，再根据单调性求极值．

解答：解：（I）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3ⁿ（n=1，2，3，…）
得a₂=-a₁+3=3，a₃=-a₂+3²=6．       
（由a_n+1=-a_n+3ⁿ，变形得a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），∴{a_n-

3n

4

}
是首项为a₁-

3

4

=-

3

4

公比为-1的等比数列
∴an-

3n

4

=-

3

4

（-1）^n-1∴an=

3n

4

+(-1)n

3

4

（n=1，2，3…）     
（II）①当n是偶数时，

an

an+1

=

3n 4 +  3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n+3

3n+1-3

=

1

3

+

4

3n+1-3

，
∴

an

an+1

随n增大而减少，∴当n为偶数时，

an

an+1

最大值是

1

2

．            
②当n是奇数时，

an

an+1

=

3n 4 + 3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n-3

3n+1+3

=

1

3

-

4

3n+1+3

∴

an

an+1

随n增大而增大且

an

an+1

=

1

3

-

4

3n+1+3

＜

1

3

＜

1

2

综上

an

an+1

最大值为

1

2

．

点评：本题考查了构造法求数列的通项公式，以及利用数列单调性求最值，做题时应认真分析．