Question

已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=

x

（1）求当x＜0时，f（x）的表达式
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）将所求转化到已知范围，结合奇偶性得解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0∴f(-x)=

-x

又∵f（x）是R上的偶函数∴f（-x）=f（x）
∴x＜0时，f(x)=

-x

．
（2）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增 
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞）
∴

x1

+

x2

＞0，
又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考察函数的性质及应用，属中档题．（1）所用思想为：将未知转化为已知来求解；（2）中应注意分子有理化化简，不化简是不给得分的．