Question

已知下列四个命题：
①命题“已知f（x）是R上的减函数，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）”的逆否命题为真命题；
②若p或q为真命题，则p、q均为真命题；
③若命题p：?x∈R，x²-x+1＜0，则?p：?x∈R，x²-x+1≥0；
④“sinx=

1

2

”是“x=

π

6

”的充分不必要条件．
其中正确的是（　　）

A．①④

B．②③

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：根据函数单调性的定义及不等式的性质，可以判断①的真假；根据复合命题真假判断的真值表，可以判断②的真假；根据存在性命题的否定方法，可以判断③的真假；根据充要条件的判定方法，可以判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：若f（x）是R上的减函数，且a+b≥0，则a≥-b，且b≥-a，则f（a）≤f（-b），且f（b）≤f（-a），则f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）
∴命题“已知f（x）是R上的减函数，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）”为真假命题，再由互为逆否的两个命题真假性一致，故①正确；
②若p或q为真命题，则p与q中至少有一个为真命题，但一定全为真命题，故②错误；
若命题p：?x∈R，x²-x+1＜0，则?p：?x∈R，x²-x+1≥0，故③正确；
∵“sinx=

1

2

”⇒“x=

π

6

”为假，“x=

π

6

”⇒“sinx=

1

2

”为真，故“sinx=

1

2

”是“x=

π

6

”的必要不充分条件，故④错误；
故选C．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据函数单调性的定义，复合命题的真假表，全（特）称命题的否定，充要条件的定义等基本知识点判断题目中各个命题的真假是解答本题的关键．