Question

已知下列四个命题：
①函数f（x）=2^x满足：对任意x₁，x₂∈R，有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]；
②函数f（x）=log2(x+

1+x2

)，g（x）=1+

2

2x-1

均是奇函数；
③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2012）；
④设x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x₁x₂=1．
其中正确命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①由f（x）=2^x，对任意x₁，x₂∈R，作差比较f（

x1+x2

2

）、

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的大小；
②由奇函数的定义判定f（x）、g（x）的奇偶性；
③由f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称知，f（x+1）是奇函数，又f（4-x）=f（x）知，f（x）的图象关于x=2对称；得f（x）以4为周期，从而判定f（22）≠f（2012）；
④解方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1），得x₁，x₂，计算x₁x₂；

解答：解：①∵函数f（x）=2^x，∴对任意x₁，x₂∈R，有f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=2

x1+x2

2

-

1

2

（2x1+2x2）；
∵

1

2

（2x1+2x2）≥

1

2

×2

2x12x2

=2

x1+x2

2

，当且仅当x₁=x₂时取“=”，∴f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立；∴命题正确；
②∵函数f（x）=log2(x+

1+x2

)（x∈R），∴f（-x）=log₂（-x+

1+(-x)2

）=log₂

1

x+ 1+x2

=-log₂（x+

1+x2

）=-f（x），∴f（x）是奇函数；
∵g（x）=1+

2

2x-1

=

2x+1

2x-1

（x∈R），∴g（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

2x+1

1-2x

=-g（x），∴g（x）是奇函数；∴命题正确；
③∵函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，∴f（x+1）是奇函数，∴f（x+1）=-f（-x+1），又f（4-x）=f（x），∴f（x）的图象关于x=2对称；∴f（x）是以4为周期的函数，f（2）≠f（2012）；命题错误；
④∵|log_ax|=k（a＞0，a≠1），∴log_ax=±k，∴x₁=a^k，x₂=a^-k，则x₁x₂=a^k•a^-k=a⁰=1，∴命题正确；
所以，正确命题的序号是：①②④
故答案为：①②④

点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数单调的性质与图象的变换以及方程的知识，是容易出错的题目．