Question

已知下列四个命题：
①若tanθ=2，则sin2θ=

4

5

；
②函数f(x)=lg(x+

1+x2

)是奇函数；
③“a＞b”是“2^a＞2^b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC中是直角三角形．
其中所有真命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：根据已知中tanθ=2，根据倍角公式及弦化切法，可得sin2θ值，判断出①的真假；
根据函数的定义域为R，分析f（x）与f（-x）的关系，可得函数的奇偶性，判断出②的真假；
根据以2为底的指数函数的单调性，易判断“a＞b”是“2^a＞2^b”的充要条件，可得③的真假；
根据诱导公式，和差角公式及三角函数的定义，求出cosA=0，A=90°，判断出三角形形状后，可判断④的真假

解答：解：∵tanθ=2，则sin2θ=

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ

tan2θ+1

=

4

5

，故①正确；
函数f(x)=lg(x+

1+x2

)的定义域为R，且f（x）+f（-x）=lg(x+

1+x2

)+lg(-x+

1+x2

)=lg（1+x²-x²）=lg1=0，故f（x）是奇函数，即②正确；
∵y=2^X在R上是单调递增函数，故“a＞b”是“2^a＞2^b”的充要条件，故③错误；
在△ABC中，若sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，cosAsinB=0，由sinB≠0得cosA=0，A=90°，即则△ABC中是直角三角形，故④正确．
故答案为①②④

点评：本题考查的知识点是命题真假的判断，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．