Question

已知下列四个命题：
①若函数y=f（x）在x_°处的导数f'（x_°）=0，则它在x=x_°处有极值；
②不论m为何值，直线y=mx+1均与曲线

x2

4

+

y2

b2

=1有公共点，则b≥1；
③设直线l₁、l₂的倾斜角分别为α、β，且1+tanβ-tanα+tanαtanβ=0，则l₁和l₂的夹角为45°；
④若命题“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则|a+1|＞2；
以上四个命题正确的是

 

（填入相应序号）．

Answer 1

分析：导函数在某一点等于0，是函数在这一点有极值的必要条件，而不是充要条件，当直线过封闭曲线的内部一点时，不管直线的斜率是多少，直线都与曲线有交点，把所给的等式变形得到夹角的正切值，根据绝对值的几何意义得到结果．

解答：解：导函数在某一点等于0，是函数在这一点有极值的必要条件，
而不是充要条件，故①不正确，
∵直线y=mx+1恒过定点（0，1）
∴当点（0，1）在椭圆的内部时，直线与曲线一定有公共点，
要使点（0，1）在椭圆的内部，只有b≥1，故②正确，
根据两条直线的夹角公式和1+tanβ-tanα+tanαtanβ=0，
知tan（α-β）=1，得到夹角是45°，故③正确
命题“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，
则存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|＞2是一个真命题，
∴由绝对值的几何意义知|a+1|＞2，故④正确，
综上可知②③④正确，
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识点比较多，是一个综合题目，这种题目需要逐个验算是否正确，若有一个判断失误，则整个题目都出错，这是出错率比较高的一种填空题．