Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，可由求得其首项与公差，继而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，用裂项法可求得=（-），从而可求得T_n-=-（+），利用递增函数的定义再证明数列{T_n}是递增数列，即可证得结论．
解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+．…（1分）
依题意，有即…（3分）
解得a₁=6，d=4．…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N^*）．…（6分）
（2）证明：由（1）可得S_n=2n²+4n．…（7分）
∴===（-）．…（8分）
∴T_n=+++…++
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]…（9分）
=（1+--）
=-（+）．…（10分）
∵T_n-=-（+）＜0，
∴T_n＜．…（11分）
∵T_n+1-T_n=（-）＞0，所以数列{T_n}是递增数列．…（12分）
∴T_n≥T₁=．…（13分）
∴≤T_n＜．…（14分）
点评：本题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．