精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点(A在M、B之间).
(1)F为抛物线C的焦点,若|AM|=
5
4
|AF|,求k的值;
(2)如果抛物线C上总存在点Q,使得QA⊥QB,试求k的取值范围.
(1)法一:由已知M(-1,0)(1分)
设A(x1,y1),则|AM|=
1+k2
|x1+1|
,(1分)
|AF|=
(x1-1)2+
y21

=
(x1-1)2+4x1

=|x1+1|,(1分)
由4|AM|=5|AF|得,4
1+k2
=5,
解得k=±
3
4
(2分)
法二:记A点到准线距离为d,直线l的倾斜角为a,
由抛物线的定义知|AM|=
5
4
d,(2分)
∴cosa=±
d
|AM|
4
5

∴k=tana=±
3
4
(3分)
(2)设Q(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2
y2=4x
y=k(x+1)
得ky2-4y+4k=0,(1分)
首先由
k≠0
16-16k2>0
得-1<k<1且k≠0
kQA=
y0-y1
x0-x1
=
y0-y1
y20
4
-
y21
4
=
4
y0+y1

同理kQB=
4
y0+y2
(2分)
由QA⊥QB得
4
y0+y1
4
y0+y2
=-1
,(2分)
即:y02+y0(y1+y2)+y1y2=-16,
y20
+
4
k
y0+20=0
,(2分)
△=(
4
k
)
2
-80≥0,得-
5
5
≤k≤
5
5
且k≠0,
由-1<k<1且k≠0得,
k的取值范围为[-
5
5
,0)∪(0,
5
5
](3分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(
2
+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1•k2=1;
(Ⅲ)(此小题仅理科做)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线l:y=x+2,与抛物线x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,l与x轴交于点C(xC,0).
(1)求证:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC

(2)求直线l与抛物线所围平面图形的面积;
(3)某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时(如图1所示),尝试拖动改变直线l与抛物线的方程,发现
1
xA
+
1
xB
1
xC
的结果依然相等(如图2、图3所示),你能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
AM
=2
MB

(Ⅰ)求椭圆C长轴长的取值范围;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求椭圆C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知离心率为
6
3
的椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,且∠ACB=120°,C在AB上方,如图所示,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:y2=x,直线l:y=k(x-1)+1,要使抛物线C上存在关于对称的两点,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为2
3
,且过点M(-
13
4
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点N(
1
2
,1)
的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案