【题目】已知数列的前
项和为
,
,
,
.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设数列的前
项和为
,
,点
在直线
上,若不等式
对于
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)根据,利用数列通项与前n项和的关系,由
,得
,两式相减变形为
,再利用等比数列的定义证明.
(2)由(1)得,根据点
在直线
上,得到
,由等差数列的定义得到
是等差数列,利用通项公式可得
,进而求得
,令
,用错位相减法化简得到
,将不等式
,转化为
恒成立求解.
(1)由,
得,
两式相减得,
变形为
∵,
∴,
,
,
∴是以1为首项,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得,
∵点在直线
上,∴
,
故是以
为首项,
为公差的等差数列.
则,
∴.
当时,
,
∵满足该式,
∴.
∴不等式,
即为,
令,则
,
两式相减得
,
∴,
由恒成立,即
恒成立,
又,
故当时,
单调递减;当
时,
;
当时,
单调递增;当
时,
;
则的最小值为
,
所以实数m的最大值是.
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【题目】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和
,现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品研发成功,预计企业可获得
万元,若新产品
研发成功,预计企业可获得利润
万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
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【题目】函数在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为
的图象与x轴的交点,且
为等边三角形.将函数
的图象上各点的横坐标变为原来的
倍后,再向右平移
个单位,得到函数
的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若不等式对任意
恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“陪伴数列”.
(Ⅰ)写出数列的“陪伴数列”
;
(Ⅱ)若的“陪伴数列”是
.试证明:
成等差数列.
(Ⅲ)若为偶数,且
的“陪伴数列”是
,证明:
.
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【题目】如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)当PA=AB=2,∠ABC=时,求三棱锥
的体积.
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【题目】已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为.
(1)求动点M轨迹C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是的求出这个值.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1, ,其中n∈N*.
(1)设,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得
对于n∈N*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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