Question

【题目】已知数列.如果数列满足， ，其中，则称为的“陪伴数列”.

（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；

（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明： 成等差数列.

（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明： .

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由“陪伴数列”的定义易得： .

（Ⅱ）证明：对于数列及其“陪伴数列”，

因为 ，

，

，

……

，

将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得即可证明.

（Ⅲ）证明： 因为 ，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加即可证明

试题解析：（Ⅰ）解： .

（Ⅱ）证明：对于数列及其“陪伴数列”，

因为 ，

，

，

……

，

将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，

相加得

即

故

所以成等差数列.

（Ⅲ）证明： 因为 ，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即， .