【题目】四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,
为
的中点,
平面
,
与平面
所成的角的正弦值为
.
(1)在棱上求一点
,使
平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)分别取PD,PC的中点F,G,由三角形中位线定理及平行公理可得四边形AEGF为平行四边形,得AF∥EG,由线面平行的判定可得AF∥平面PEC,则PD的中点F即为所求;
(2)由已知可得∠CPE即为PC与平面PAB所成的角,求解直角三角形得到PA=2,过D作BA的延长线的垂线,垂足为H,过H作PE的垂线,垂足为K,连接KD,可得∠DKH即为所求的二面角的平面角,然后求解直角三角形得答案.
(1)分别取PD,PC的中点F,G,则FG∥CD∥AB,,
∴四边形AEGF为平行四边形,则AF∥EG,又FG平面PEC,
∴AF∥平面PEC,
∴PD的中点F即为所求;
(2)由PA⊥平面ABCD,可得平面PAB⊥平面ABCD,
∵E为AB中点,且BC=2BE=2,∠CBE=60°,∴CE⊥AB.
∴∠CPE即为PC与平面PAB所成的角,
在Rt△PEC中,,即
,
解得:PA=2,
过D作BA的垂线,垂足为H,过H作PE的垂线,垂足为K,连接KD,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DH,
又DH⊥BA,∴DH⊥平面PBA,
∴DH⊥PE,则PE⊥平面DHK,得PE⊥DH,
∴∠DKH即为所求的二面角的平面角,
在Rt△DHK中,,
由于PEHK=EHPA,∴,
从而,
∴,
即二面角D﹣PE﹣A的余弦值为.
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【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间
的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立关
的回归方程;
(3)若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比,那么
为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
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【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“陪伴数列”.
(Ⅰ)写出数列的“陪伴数列”
;
(Ⅱ)若的“陪伴数列”是
.试证明:
成等差数列.
(Ⅲ)若为偶数,且
的“陪伴数列”是
,证明:
.
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【题目】已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为.
(1)求动点M轨迹C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是的求出这个值.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1, ,其中n∈N*.
(1)设,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得
对于n∈N*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的方程是:
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设过原点的直线与曲线
交于
,
两点,且
,求直线
的斜率.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别
,过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
两点,满足
.
(1)求椭圆的离心率.
(2)是椭圆
短轴的两个端点,设点
是椭圆
上一点(异于椭圆
的顶点),直线
分别与
轴相交于
两点,
为坐标原点,若
,求椭圆
的方程.
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【题目】已知都是各项不为零的数列,且满足
,
,其中
是数列
的前
项和,
是公差为
的等差数列.
(1)若数列的通项公式分别为
,求数列
的通项公式;
(2)若(
是不为零的常数),求证:数列
是等差数列;
(3)若(
为常数,
),
(
,
),对任意
,
,求出数列
的最大项(用含
式子表达).
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