Question

【题目】已知都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列.

（1）若数列的通项公式分别为，求数列的通项公式；

（2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；

（3）若（为常数，），（，），对任意，，求出数列的最大项（用含式子表达）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）代入数据得到，根据通项和前项和关系并验证得到答案.

（2）代入数据化简得到，退项作减法得到（），再验证的情况得到答案.

（3）根据题意代数化简得到，令，证明时，单调递减，得到最大项.

（1）因为，所以，

由，得，

当时，，两式作差，可得，

当时，满足上式，则.

（2），当时，，

两式相减得：，

即，即，

又，所以，即，

所以当时，，两式相减得：，

所以数列是从第二项起成公差为的等差数列.

又当时，由，得，

当时，由，得，

故数列是公差为的等差数列.

（3）当时，，

因为，所以，即，

所以，即，即，

故从第二项起数列是等比数列，所以当时，，

，

另外由已知条件可得，又，

所以，因而，

令，则，

故对任意的时，，恒成立，

所以时，，单调递减，中最大项为.