Question

【题目】如图，在三棱锥中，△ABC是等边三角形，AB⊥AD，CB⊥CD，点P是AC的中点，记△BPD、△ABD的面积分别为，，二面角A－BD－C的大小为，

证明：（Ⅰ）平面ACD平面BDP；

（Ⅱ）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意可知Rt△BAD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，又P是AC的中点，∴PB⊥AC，PD⊥AC，可得AC⊥平面BDP ，结合面面垂直的判定定理即可得证。

（Ⅱ）作AM⊥ BD，M为垂足，连接PM，CM．可得AC⊥PM，AC⊥BD，所以BD⊥CM，则∠AMC就是二面角A－BD－C的平面角，即∠AMC＝． 可求出与的关系，即可得证。

（Ⅰ）证明：∵△ABC是等边三角形，AB⊥AD，CB⊥CD，

∴Rt△BAD≌Rt△BCD，∴AD＝CD．　　　　　

∵点P是AC的中点，∴PB⊥AC，PD⊥AC，

又＝P，平面BDP，平面BDP，

∴AC⊥平面BDP，

∵平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．

（Ⅱ）证明：作AM⊥ BD，M为垂足，连接PM，CM．

由（1）知AC⊥平面BDP，则AC⊥PM，AC⊥BD，

∵，∴BD⊥平面ACM，

∴BD⊥CM，则∠AMC就是二面角A－BD－C的平面角，即∠AMC＝．

又P为AC的中点，PM⊥AC，则∠AMP＝，

所以 ，

所以．