【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的方程是:
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设过原点的直线与曲线
交于
,
两点,且
,求直线
的斜率.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
(1)将直角坐标方程转化为极坐标方程可得曲线的极坐标方程为
.
(2)法1:由圆的弦长公式可得圆心到直线
距离
,由几何关系可得直线
的斜率为
.
法2:设直线:
(
为参数),与圆的直角坐标方程联立,利用直线参数的几何意义可得直线
的斜率为
.
法3:设直线:
,与圆的方程联立,结合圆锥曲线的弦长公式可得直线
的斜率为
.
法4:设直线:
,结合弦长公式可得圆心
到直线
距离
,利用点到直线距离公式解方程可得直线
的斜率为
.
试题解析:
(1)曲线:
,即
,
将,
代入得
曲线的极坐标方程为
.
(2)法1:由圆的弦长公式及
,得圆心
到直线
距离
,
如图,在中,易得
,可知
直线的斜率为
.
法2:设直线:
(
为参数),代入
中得
,整理得
,
由得
,即
,
解得,从而得直线
的斜率为
.
法3:设直线:
,代入
中得
,即
,
由得
,即
,
解得直线的斜率为
.
法4:设直线:
,则圆心
到直线
的距离为
,
由圆的弦长公式及
,得圆心
到直线
距离
,
所以,解得直线
的斜率为
.
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【题目】已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为.
(1)求动点M轨迹C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是的求出这个值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别
,过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
两点,满足
.
(1)求椭圆的离心率.
(2)是椭圆
短轴的两个端点,设点
是椭圆
上一点(异于椭圆
的顶点),直线
分别与
轴相交于
两点,
为坐标原点,若
,求椭圆
的方程.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆
的离心率为
,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点的直线
与
相交于不同的两点
,满足
?
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义在上的函数
若满足:
,且
,则称函数
为“
指向
的完美对称函数”.已知
是“1指向2的完美对称函数”,且当
时,
.若函数
在区间
上恰有5个零点,则实数
的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知都是各项不为零的数列,且满足
,
,其中
是数列
的前
项和,
是公差为
的等差数列.
(1)若数列的通项公式分别为
,求数列
的通项公式;
(2)若(
是不为零的常数),求证:数列
是等差数列;
(3)若(
为常数,
),
(
,
),对任意
,
,求出数列
的最大项(用含
式子表达).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列中
,前
项和为
,若对任意的
,均有
(
是常数,且
)成立,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”,求数列
的前
项和
;
(2)若数列为“
数列”,且
为整数,试问:是否存在数列
,使得
对一切
,
恒成立?如果存在,求出这样数列
的
的所有可能值,如果不存在,请说明理由;
(3)若数列为“
数列”,且
,证明:
.
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