Question

【题目】已知数列中，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.

（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；

（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对一切，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由；

（3）若数列为“数列”，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系得，再根据等比数列定义以及等比数列求和公式求结果，（2）由和项与通项关系得，代入化简得，即得，再化为，解得的所有可能值，（3）由和项与通项关系得，根据条件可得数列不减，得，叠放得，从而，而，所以得证.

试题解析：（1）数列为“数列”，则，故，

两式相减得：，

又时，，所以

故对任意的恒成立，即（常数），

故数列为等比数列，其通项公式为；

.

（2）

当时，

因为，则；

则

则，因为

则

因为，则，且时，，

解得：.

（3）

，由归纳知，，

，由归纳知，，

则

于是

于是

，∴

结论显然成立.