Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，记直线与曲线分别交于两点.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）证明：成等比数列.

Answer 1

【答案】(1), .（2）见解析.

【解析】

（1）曲线C的极坐标方程左右两边同乘 ，再利用 可求其直角坐标方程；消参可求直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程联立，利用韦达定理分别表示 ，利用等比中项法即可证明。

（1）由，得 ，

所以曲线的直角坐标方程为，

由 ，消去参数，得直线的普通方程为.

（2）证明：将直线的参数方程代入中，得.

设两点对应的参数分别为，则有，，

所以.

因为，

所以，，成等比数列.