Question

【题目】已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；

（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；

（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，利用判别式小于0即可求实数k的取值范围．

（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，

所以.

（Ⅱ）因为当时，，

所以.

又因为函数是奇函数，所以.

所以.

综上，

（Ⅲ）由得.

因为是奇函数，

所以.

又在上是减函数，所以.

即对任意恒成立.

令，则.由，解得.

故实数的取值范围为．