Question

【题目】定义在上的函数若满足： ，且，则称函数为“指向的完美对称函数”.已知是“1指向2的完美对称函数”，且当时， .若函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】由是“1指向2的完美对称函数”，所以,用1+x代替上式中的x值， ，所以，又因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，其中，故， ，

，故当时， ，所以，即时， ，当时， .由得对称中心为，周期为4，可得的对称中心为，即与均关于点对称，结合的图象关于点对称及关于直线对称，可画出在区间上的图象，如图所示：

因为，直线过点，故若函数在区间上恰有5个零点，则只需与在区间上有两个交点，设直线与曲线的切点为，则,故切线方程为：

.因为点在切线上，所以，解得或（舍去），此时,又当直线过点时，k=1.故由图，可知实数k的取值范围为

故选：B