Question

【题目】己知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切．

（）求圆的方程．

（）设直线与圆相交于，两点．求实数的取值范围．

（）在（）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】本试题主要是考查了线与圆的位置关系的综合运用。

（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点（1，3），与直线x+2y-7=0相切. 利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到结论。

（2）因为直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径得到参数a的范围。

（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，从而得到。

解：（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，可设圆心坐标为，由题意可列方

程，解得，所以圆心坐标为（），半径

为，所以圆的方程为。-----------------5分

(2)联立方程，消得，由于直线与圆交于两点，所以，解得，所以的取值范围是（）------8分（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，

所以，解得，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.--------------13分