Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=4，公差d＞0，且a₁，a₅，a₂₁分别是正数等比数列{b_n}的b3 ，b5 ，b7项．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意n^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，设{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，利用等差数列与等比数列的通项表达式通过解方程可求得d=3，q=2，b₁=1，从而可求得数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，可求得c_n=

7    (n=1) 3•2n-1(n≥2)

，借助等比数列的求和公式即可求得{c_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₅=4+4d，a₂₁=4+20d，且a₁，a₅，a₂₁成等比数列，
∴（4+4d）²=4（4+20d），
整理得：d²=3d，
∵公差d＞0，
∴d=3，
∴a_n=4+（n-1）×3=3n+1．
又b₃=a₁=4，b₅=a₅=16，
∴q²=4，
∵q＞0，
∴q=2，
∴b₁=

b3

q2

=1，
∴b_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，①
∴

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n（n≥2），②
①-②：

cn

bn

=a_n+1-a_n=3，
∴c_n=3b_n=3•2^n-1（n≥2），
又c₁=b₁a₂=7，
∴c_n=

7    (n=1) 3•2n-1(n≥2)

．
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=7+3•2¹+3•2²+…+3•2^n-1=7+3（2¹+2²+…+2^n-1）=7+

6(1-2n-1)

1-2

=3•2ⁿ+1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查方程思想与类比思想，考查等比数列的求和公式，属于中档题．