Question

如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证:MN⊥AB;

（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ,使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，请说明理由.

Answer 1

方法1：（1）证明：如图，取CD的中点K，连结MK、NK.

∵M、K分别为AB、CD的中点，ABCD为矩形，

∴AMKD也是矩形，因此AB⊥MK.

∵PA⊥平面AC，CD平面AC，

∴CD⊥PA.

又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,

∴CD⊥平面PAD.又PD平面PAD，

∴CD⊥PD.∵N、K分别是PC、CD的中点，

∴NK∥PD.∴CD⊥NK.∴AB⊥NK.又AB⊥MK,∴AB⊥面MKN.

又MN平面MKN，故AB⊥MN.

(2)解:由（1）得MN⊥AB,故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.

∵PN=CN，

∴MN⊥PCPM=MC①

∵MA=MB,∴①PA=BC②

∵BC=AD,∴②PA=AD.

又∵PD⊥CD,AD⊥CD,

∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.

因此PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=,

故存在θ=使MN为AB与PC的公垂线.

方法2：建立如图所示的直角坐标系，设AB=a,AD=b,PA=c,则A（0，0，0）、B（a,0,0）、C（a,b,0）、P(0,0,c)

（1）证明：∵M为AB的中点，N为PC的中点，

∴M（,0,0）,N(,,).

∴=(0,,).

又∵=(a,0,0),∴·=0,

即MN⊥AB.

(2)解:由（1）得MN⊥AB,故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.

MN⊥PC·=0.①

∵=(0, ,),=(a,b-c),

∴①0+-=0b=c,也就是PA=AD.

∵PA⊥平面AC，CD平面AC，

∴CD⊥PA.

又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,

∴CD⊥平面PAD.又PD平面PAD，

∴CD⊥PD.又CD⊥AD,∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.

因此PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=,

故存在θ=使MN为AB与PC的公垂线.