Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；    （Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件得

2b2 a =1 2b=a

?

a=2 b=1

，从而写出椭圆的方程即可；
（Ⅱ）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得λ+μ值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）由条件得

2b2 a =1 2b=a

?

a=2 b=1

，所以方程为

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

?(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
△=48k²+16＞0
x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

由

AQ

=λ

QB

?(-1-x1，-y1)=λ(x2+1，y2)即

-(x1+1)=λ(x2+1)(1) y1=-λy2

AE

=μ

EB

?(-4-x1，y0-y1)=μ(x2+4，y2-y0)即

-(x1+4)=μ(x2+4)(2) y0-y1=μ(y2-y0)

由（1）λ=

x1+1

x2+1

，由（2）μ=

x1+4

x2+4

∴λ+μ=-

(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)

(x2+1)(x2+4)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

将x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

代入有∴λ+μ=-

8k2-8 1+4k2 - 40k2 1+4k2 +8

(x2+1)(x2+4)

=-

8k2-8-40k2+8+32k2 1+4k2

(x2+1)(x2+4)

=0

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与转化思想．属于基础题．