Question

（14分）已知圆过点且与圆M:关于直线对称

  (1)判断圆与圆M的位置关系,并说明理由;

  (2)过点作两条相异直线分别与圆相交于、

   ①若直线与直线互相垂直，求的最大值；

   ②若直线与直线与轴分别交于、，且,为坐标原点,试判断直线与是否平行?请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) 圆M与圆C外切，理由略

(2) ①、被圆所截得弦长之和的最大值为4

②直线和一定平行，理由略。

【解析】解:(1)设圆心,则,解得

则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为

,又两半径之和为,圆M与圆C外切.

 

(2) ①设、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即

，化简得

从而，(时取等号,此时直线PA,PB必有一条斜率不存在)综上:  、被圆所截得弦长之和的最大值为4

另解：若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在,

则PA=PB=2,此时PA+PB=4.

若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设,即

，() 点C到PA的距离为，同理可得点C到PB的距离为，

<16,）

综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为4

②直线和平行,理由如下：

由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

,由,得

因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得

同理,,

所以=

所以,直线和一定平行.