Question

17．若点P在以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）上，且PF⊥FO，|PF|=2，O为原点．若直线x-2y=1与此抛物线相交于两点A，B，点N是抛物线弧$\widehat{AOB}$上的动点，求△ABN面积的最大值．

Answer 1

分析 如图所示，由抛物线y²=2px（p＞0）上，可得F$（\frac{p}{2}，0）$．把x=$\frac{p}{2}$代入抛物线方程可得y=±p，由于PF⊥FO，|PF|=2，O为原点．可得p=2，可得抛物线方程为：y²=4x．设与直线x-2y=1平行且与抛物线相切的直线x-2y=m，与抛物线方程联立，利用△=0，可得m．可得此两条平行直线的距离d．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线l的方程与抛物线方程联立化为x²-18x+1=0，可得|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：如图所示，
由抛物线y²=2px（p＞0）上，可得F$（\frac{p}{2}，0）$．
把x=$\frac{p}{2}$代入抛物线方程可得y=±p，
∵PF⊥FO，|PF|=2，O为原点．
∴p=2，
可得抛物线方程为：y²=4x．
设与直线x-2y=1平行且与抛物线相切的直线x-2y=m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-8y-4m=0，
令△=64+16m=0，
解得m=-4．
可得切线方程为：x-2y=-4．
此两条平行直线的距离d=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为x²-18x+1=0，
∴x₁+x₂=18，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（1{8}^{2}-4×1）}$=20．
∴△ABN面积的最大值S=$\frac{1}{2}|AB|$•d=$\frac{1}{2}×20×\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交相切问题转化为方程联立、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．