Question

15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{b}{cos\frac{B}{2}}$，则△ABC的形状是等腰三角形．

Answer 1

分析 由正弦定理和二倍角的正弦公式可得2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$（sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$）=0，结合三角形知识可得A=B，可得等腰三角形．

解答 解：∵△ABC中$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{b}{cos\frac{B}{2}}$，∴acos$\frac{B}{2}$=bcos$\frac{A}{2}$，
由正弦定理可得sinAcos$\frac{B}{2}$=sinBcos$\frac{A}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{A}{2}$，
∴2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$（sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$）=0，
∴cos$\frac{A}{2}$=0或cos$\frac{B}{2}$=0或sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$=0，
当cos$\frac{A}{2}$=0或cos$\frac{B}{2}$=0时，A或B为π不合题意；
当sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$=0时，A=B，三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．

点评 本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理和二倍角的正弦公式，属中档题．