Question

（2011•洛阳一模）过定点A（1，0）的动圆M与定圆B：（x+1）²+y²=8内切（圆心为B）．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点N（0，1），是否存在直线l交M的轨迹于P，Q两点，使得△NPQ的垂心恰为点A．若存在，求出该直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），由题意得|MB|=2

2

-|MA|，即|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，由椭圆的定义可得：点M的轨迹是椭圆，求出即可；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由A是垂心，可得kl=-

1

kNA

=1，设直线l的方程为y=x+m，联立

y=x+m x2 2 +y2=1

．消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，得到根与系数的关系．又AP⊥NQ?

AP

•

NQ

=0，可得（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理为2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，代入即可解出m．

解答：解：（1）设M（x，y），由题意得|MB|=2

2

-|MA|，即|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，
由椭圆的定义可得：点M的轨迹是以A（1，0），B（-1，0）为焦点的椭圆，
且2a=2

2

，2c=2，解得a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1．
故动圆圆心M的轨迹方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A是垂心，∴kl=-

1

kNA

=1，
设直线l的方程为y=x+m，联立

y=x+m x2 2 +y2=1

．
消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，
∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2(m2-1)

3

，又AP⊥NQ，
∴

AP

•

NQ

=0，∴（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理为2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，
∴

4(m2-1)

3

+(m-1)(-

4m

3

)+m(m-1)=0，解之得m=1（舍去）或m=-

4

3

．
经检验m=-

4

3

符合题意，故存在符合题意的直线l：y=x-

4

3

．

点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．．