Question

已知复数z=x+yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．
（Ⅰ）设集合P={-4，-3，-2，0}，Q={0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个
数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设x∈[0，3]，y∈[0，4]，求点M落在不等式组：

x+2y-3≤0 x≥0 y≥0

所表示的平面区域内的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）每种情况出现的可能性相等，是一个古典概型列举出试验发生包含的所有事件是组成复数z的所有情况共有12个，其中事件A包含的基本事件共2个：i，2i．根据古典概型公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是在平面区域{(x，y)

0≤x≤3 0≤y≤4

}内，做出面积，满足条件的事件是三角形OAD的区域，做出面积，根据几何概型公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）每种情况出现的可能性相等，是一个古典概型
记“复数z为纯虚数”为事件A
∵列举出组成复数z的所有情况共有12个：-4，-4+i，-4+2i，-3，-3+i，-3+2i，
-2，-2+i，-2+2i，0，i，2i，
其中事件A包含的基本事件共2个：i，2i．
∴所求事件的概率为P(A)=

2

12

=

1

6

（Ⅱ）依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)

0≤x≤3 0≤y≤4

}内，
该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S=3×4=12．
所求事件构成的平面区域为{(x，y)|

x+2y-3≤0 x≥0 y≥0

}，
其图形如下图中的三角形OAD（阴影部分）
又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3，0)，D(0，

3

2

)，
∴三角形OAD的面积为S1=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

.
∴所求事件的概率为P=

S1

S

=

9 4

12

=

3

16

.

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．