Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点。

（Ⅰ）证明：PD⊥AC；

（Ⅱ）求二面角P―AB―C的大小；

（Ⅲ）若DM : MP=k，则当k为何值时直线PB⊥//平面ACM？

Answer 1

解：（I）∵PO⊥平面ABCD

∴DO为DP在平面ABCD内的射影又AC⊥BD

∴AC⊥PD

（Ⅱ）取AB中点N，连结ON，PN

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴△ABD≌△BAC  ∴∠ABD=∠BAC

∴OA=OB         ∴ON⊥AB.

又∵PO⊥平面ABCD

∴ON为PN在底面ABCD内的射影，∴PN⊥AB

∴∠PNO即为二面角P―AB―C的平面角

在Rt△DOA中，∠DAO=60°，AD=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AOB中，

∵PO⊥平面ABCD

∴OA为PA在底面ABCD内的射影

∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，

∴∠PAO=60°

在Rt△POA中，AO=1       ∴PO=

∴在Rt△PON中，

∴二面角P―AB―C的大小为

方法二：

如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

A（0，－1，0），B（1，0，0）    P（0，0，  O（0，0，0）

∵PO⊥平面ABCD ∴为平面ABCD的法向量

设为平面PAB的法向量

则

 

∴二面角P―AB―C的大小为

（Ⅲ）连结MO

当DM：MP=时，直线PB//平面ACM

∵AO=1，BO=AO=1，DO= ∴DO：OB=

又∵DM：MP=           ∴在△BDP中，MO//PB

又∵MO平面ACM

∴PB//平面ACM