【题目】如图,已知定圆,定直线
过
的一条动直线
与直线
相交于
,与圆
相交于
两点,
是
中点.
(1)当与
垂直时,求证:
过圆心
;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)或
(3)存在,是定值5
【解析】
(1)根据与
垂直写出直线
的方程;将圆心
代入方程易知
过圆心
;
(2)过的一条动直线
,应当分为斜率存在和不存在两种情况;当直线
与
轴垂直时,进行验证,当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,由于弦长
,利用垂径定理,则圆心
到弦的距离
,从而解得斜率
来得出直线
的方程;
(3)当与
轴垂直时,要对设
,进行验证;当
的斜率存在时,设直线
的方程为
,代入圆的方程得到一个二次方程,利用韦达定理和中点坐标公式求
的坐标,再用两根直线方程联立,求
的坐标,由图可知
,再讨论
是否为定值.
解:(1)由题意可知直线的斜率
,由
与
垂直得直线
的斜率
,
所以直线的方程为
.
将圆心代入方程易知
过圆心
;
(2)由于,
是
中点,由垂径定理得
,
①当直线与
轴垂直时,易知
,圆心
到直线
的距离为1,符合题意;
②当直线与轴不垂直时,设直线
的方程为
,即
,
,解得
,直线
的方程为
,即
;
综上:直线的方程为
或
;
(3)①当与
轴垂直时,易得
,
,又
,
则,
,此时
;
②当的斜率存在时,设直线
的方程为
,
代入圆的方程化简得,
设,
,
,
则,
,
即,
,
又由得
,
则,
由图可知,
;
综上:为定值5.
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【题目】已知函数,给出下列关于
的性质:
①是周期函数,3是它的一个周期;
②是偶函数;
③方程有有理根;
④方程与方程
的解集相同;
⑤是周期函数,
是它的一个周期.
其中正确的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试,求:第
组至少有一名学生被考官
面试的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】在平面直角坐标系中,设倾斜角为
的直线的参数方程为
为参数).在以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
,直线与曲线
相交于不同的两点
,
.
(1)若,求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若为
与
的等比中项,其中
,求直线的斜率.
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