【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
,求
的最大值.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求出导函数,根据二次函数的与
的关系来分类讨论函数的单调性,并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系;
(2)由是两个极值点得到对应的韦达定理形式,然后利用条件将
转变为关于某一变量的新函数,分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即
的最大值.
(1),
,
,
当,即
时,
,此时
在
上单调递增;
当时,
有两个负根,此时
在
上单调递增;
当时,
有两个正根,分别为
,
,
此时在
,
上单调递增,在
上单调递减.
综上可得:时,
在
上单调递增,
时,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由(1)可得,
,
,
,
∵,
,∴
,
,
∴
令,则
当时,
;当
时,
∴在
上单调递增,在
单调递减
∴
∴的最大值为
.
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【题目】某工厂预购软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
(1)设日收费为元,每天软件服务的次数为
,试写出两种方案中
与
的函数关系式;
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由.
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【题目】如图,已知定圆,定直线
过
的一条动直线
与直线
相交于
,与圆
相交于
两点,
是
中点.
(1)当与
垂直时,求证:
过圆心
;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,
,底面四边形
为直角梯形,
,
,
为线段
上一点.
(1)若,则在线段
上是否存在点
,使得
平面
?若存在,请确定
点的位置;若不存在,请说明理由
(2)己知,若异面直线
与
成
角,二而角
的余弦值为
,求
的长.
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【题目】如图,已知四边形的直角梯形,
,
,
,
为线段
的中点,
平面
,
,
为线段
上一点(
不与端点重合).
(Ⅰ)若,
(i)求证:平面
;
(ii)求直线与平面
所成的角的大小;
(Ⅱ)否存在实数满足
,使得平面
与平面
所成的锐角为
,若存在,确定
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,
是边长为
的正三角形,点
为正方形
的中心,
为线段
的中点,
.则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.直线与
是异面直线
C.线段与
的长度相等
D.直线与平面
所成的角的余弦值为
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【题目】如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,,
,EF到平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积V为( )
A.B.5C.6D.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数).
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
交于
、
两点,求
的值,并求定点
到
,
两点的距离之积.
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【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ,求ξ的分布列与均值.
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