Question

(1)设θ∈[0，2π)，证明动直线xcosθ+ysinθ+3=0恒与一定圆相切，并求此定圆C的方程；

(2)设M的坐标为(4，0)，过M作直线与(1)中的定圆C交于A、B两点，动点P满足，求P的轨迹.

Answer 1

解：(1)∵O(0，0)到直线xcosθ+ysinθ+3=0

之距为

∴直线恒与圆C：x²+y²=9相切. 

(2)设AB：y=k(x-4)，

代入x²+y²=9x²+k²(x-4)²=9

(1+k²)x²-8k²x+16k²-9=0，令A(x₁，x₂)，B(x₂，y₂)

则x₁+x₂=y₁+y₂=k(x₁-4)+k(x₂-4)

=k(x₁+x₂)-8k=

令(x，y)，

则(x，y)=(x₁+x₂,y₁+y₂)=()，从而有

 

又y=k(x-4)与圆x²+y²=9相交

∴，故,故P的轨迹是以(,0)为圆心，为半径的一段弧，其中横坐标x∈[0，].