Question

设0≤x≤2，求函数y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最大值和最小值．

Answer 1

分析：本题中的函数是一个复合函数，求解此类函数在区间上的最值，一般用换元法，把复合函数的最值问题变为两个函数的最值问题，以达到简化解题的目的．本题宜先令2^x=t，求出其范围，再求外层函数在这个区间上的最值．

解答：解：设2^x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化为：y=

1

2

（t-a）²+1，1≤t≤4
当a≤1时，y=

1

2

（t-a）²+1[1，4]是增函数，故y_min=

a2

2

-a+

3

2

，ymax=

a2

2

-4a+9；
当1＜a≤

5

2

时，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是减函数，在[a，4]上是增函数，故y_min=1，y_max=y（4）=

a2

2

 -4a+9；
当

5

2

＜a＜4时，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是减函数，在[a，4]上是增函数，故y_min=1，y_max=y（1）=

a2

2

-a+

3

2

；
当a≥4时，y_min=

a2

2

-4a+9，ymax=

a2

2

-a+

3

2

．

点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查指数复合型函数最值的求法，做此题时，采取了换元法求最值，其具体操作过程是先求内层函数的值域，再求外层函数在内层函数值域上的最值，此解法大大降低了判断复合函数单调性的难度，使得复合函数最值的求解变得容易，求解复合函数的最值时注意灵活使用这一技巧．