Question

设0≤x≤2，求函数y=4x-

1

2

-2x-1+5的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先化简，然后利用换元法令t=2^x根据变量x的范围求出t的范围，将原函数转化成关于t的二次函数，最后根据二次函数的性质求在闭区间上的最值即可．

解答：解：y=2^2x-1-2^x-1+5=

1

2

•（2^x）²-

1

2

•2^x+5．
令t=2^x，则y=

1

2

t²-

1

2

t+5=

1

2

（t-

1

2

）²+

39

5

．
∵0≤x≤2，∴t=2^x∈[1，4]．
又∵对称轴t=

1

2

，所以y=

1

2

t²-

1

2

t+5在[1，4]上单调递增，
所以当t=1即x=0时，y_min=5；当t=4即x=2时，y_max=

1

2

×4²-

1

2

×4+5=11．

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用换元法转化成二次函数求解值域的问题，属于基础题．